10 roliga exempel på rekreationsnummerteori

Matematiker gillar att klassificera och organisera tal på alla sätt. Naturnummer används för att räkna och beställa; Nominella nummer används för namngivning (som ett körkort nummer); heltal är siffror som kan uttryckas utan bråk eller decimal primtal kan endast delas med 1 och i sig; och så vidare. Men det finns ingen gräns för hur vi kan förstå och använda siffror. Därför finns det en gren av ren matematik, främst baserat på helhetsstudien, kallad "talteori". Även om vi nu förstår att talteori har gränslösa tillämpningar, användningar och ändamål, kan det verka som om det är frivolöst för punkten meningslöshet - i synnerhet delmängden som kallas "rekreationsnummerteori". Talteoretiker Leonard Dickson sa en gång till, "Tack Gud, att talteori är otullad av någon ansökan."

Men det betyder inte att det inte ger ett mått av nördigt roligt för de som är så benägna. Läs vidare för att lära dig vad som gör ett nummer "intressant", "konstigt", "lyckligt", "narcissistisk", "perfekt" och mer!

10

Vänliga tal

Ah, vänliga tal. De älskar varandra så mycket. Hur mycket? Tja, låt oss ta ett klassiskt par-284 och 220-och se hur vänligt de är. Låt oss ta alla lämpliga divisorer på 220 (det vill säga alla dess divisorer som lämnar ingen återstod, inklusive nummer 1, och exklusive numret själv) och alla dem upp:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Nu, låt oss ta 284 och göra samma sak:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: ett par vänliga nummer. Andra par innefattar (1184, 1210), (2620, 2924) och (5020, 5564). Denna typ av nummerpar upptäcktes och studerades av pythagoreerna och har varit föremål för mycket forskning genom århundradena - Fermat, Descartes, Irans Muhammad Baqir Yazdi och Irakiska Thıbit ibn Qurra är bland de många matematiker som har delat in i världen av vänliga tal. Ämnen för vidare studier innefattar försök att upptäcka om det finns en oändlig mängd par, att urskilja mönster och för att bättre förstå varför och hur det händer.

Eftersom matematiker aldrig skulle vara nöjda med bara amicable tal, är "förlovade tal" par där summan av de riktiga divisorerna i varje tal är lika med det andra numret +1.

9

latmirp

"Emirp" är ordet "prime" spelt bakåt, och det refererar till ett prime nummer som blir ett nytt prime nummer när du vänder om dess siffror. Emirps inkluderar inte palindromiska primer (som 151 eller 787) eller 1-siffra primer som 7. De första få emirperna är 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 och 157 - vänd dem och du har ett nytt prime nummer på dina händer.

För det mesta är det sånt att säga "emirp" om och om igen. Ge det en virvel!

8

Intressanta siffror

Det finns en gammal paradox i matematikens värld som är känd som "intressant tal paradox". Enkelt uttryckt, om du fortsätter att räkna med naturliga siffror så kommer du äntligen att stöta på en som inte är intressant. där det blir paradoxalt är det numret blivit intressant genom att vara det minsta ointressanta numret.

Naturligtvis är detta allt subjektivt, eftersom det bygger på en vag definition av ordet "intressant". Mycket allmänt sett anses ett nummer intressant om det har någon typ av matematisk kvalitet som skiljer den från varandra. 19 är intressant eftersom det är toppen, 999 är intressant eftersom det är en palindrom (och den brittiska versionen av 911); 24 är intressant eftersom det bland annat är det största antalet delbart med alla tal mindre än dess kvadratrots. matematiker

7

Kraftfulla siffror

Achilles var en kraftfull trojanskrigshjälte som var extremt kraftfull men hade en fel-hans achilleshälla. Liksom honom är Achilles nummer kraftfulla men inte perfekta.

Så, låt oss börja med ett kraftfullt tal. Ett tal anses vara kraftfullt om alla dess primära faktorer förblir faktorer när de är kvadrade. 25 är ett kraftfullt tal eftersom dess en huvudfaktor, 5, förblir en faktor när den är kvadrerad (25, vilken går in i 25 en gång). Låt oss nu flytta på perfekta krafter, tal som kan uttryckas som en heltal av ett annat heltal; 8 är en perfekt kraft, eftersom den är 2 kubad.

Så nu, tillbaka till den ursprungliga premissen - Achilles nummer är mäktiga, men de är inte perfekta krafter. 72 är det första Achilles-numret, eftersom det är kraftfullt, men det är inte en perfekt prime. Andra innefattar 108, 200, 288, 392, 432, 500 och 648.

6

Konstiga nummer

Vad är konstiga nummer? För att förstå dem måste vi först börja med "rikliga" nummer. Rika siffror, även kända som "överdrivna", är större än summan av deras riktiga divisorer. 12 är till exempel det första (minsta) rikliga talet, summan av dess riktiga divisorer, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, är 16. 12 har därför en "överflöd" av 4, den mängd som Summan av dess divisorer överstiger numret. Det finns många jämnt antal, men vi kommer inte till en udda en till numret 945.

Några rikliga siffror är "semiperfect" eller "pseudoperfect", vilket betyder att de är lika med alla eller bara några av deras riktiga divisorer. 12 är ett ofullständigt rikligt antal eftersom vissa av dess divisorer kan läggas till för att bilda 12.

Äntligen kommer vi till konstiga nummer. Ett nummer är konstigt om det är rikligt men inte semiperfect; Med andra ord är summan av dess divisorer större än själva numret, men ingen delmängd av divisorbelopp är lika med numret. Weird tal är ovanliga - de första är 70, 836, 4 030 och 5 830.

5

Otouchable nummer

Medan konstiga siffror inte är lika med summan av någon av deras divisorer, tar det otouchable numret ett steg längre. För att ett tal ska kunna vara otouchable, får det inte vara lika med summan av de riktiga delarna av något nummer. Några untouchables är 2, 5, 52 och 88; i själva verket anses 5 vara det enda udda otouchable numret som finns (även om det inte har formellt bevisats). Det finns ett oändligt antal otouchable tal, vilket betyder att det inte finns något sådant som den största.

4

Perfekta siffror

Så att ha diskuterat det konstiga och det otouchable, det är dags att checka in med grandaddyen av alla korrekta divisorrelaterade nummer: perfekta nummer. Ett perfekt tal är ett som är exakt lika med summan av dess riktiga divisorer (igen, exklusive sig själv). Det första perfekta numret är 6, eftersom dess divisorer (1, 2, 3) alla upp till 6. Sex följs av 28, 496 och 8128. Tidig grekiska matematiker kände bara till dessa första 4 perfekta tal; Nichomatus upptäckte 8 128 år A.D. 100. Tre ytterligare upptäcktes, den första cirka 1456 (33.550.336) av en okänd matematiker, och år 1588 (8 589 869 056 och 137 438 691 328) av italiensk matematiker Pietro Cataldi år 1588.

Alla kända perfekta tal är jämn; Det är ännu inte känt om en udda premiär finns eller är till och med möjlig. Engelska matematikern James Joseph Sylvester skrev "... en långvarig meditation om ämnet har förvissat mig om att förekomsten av ett sådant [udda perfekt antal] - är att fly, så att säga, från den komplicerade webben av förhållanden som hamnar på alla sidor - skulle vara liten om ett mirakel. "

3

Lyckliga nummer

Vissa nummer är konstiga; andra är glada. Om du vill ta reda på om ett visst nummer är lyckligt måste du utföra följande uppsättning operationer. Låt oss ta siffran 44:

Först, kvadrat varje siffra, lägg sedan till dem ihop:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Då ska vi göra det igen med vårt nya nummer:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

Och igen:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Och slutligen:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! Det är ett lyckligt nummer. När som helst du tar ett nummer, utför detta "procedur" och slutligen anländer till nummer 1, du har själv ett lyckligt nummer. Om ditt nummer aldrig når 1, är det tyvärr olyckligt. Intressant är lyckligt tal extremt vanligt. det finns 11 av dem mellan 1 och 50, till exempel.

Som en slutlig notering är det största glada numret med inga återkommande siffror 986.543.210. Det är verkligen ett lyckligt tal.

2

Narcissistiska siffror

Narcissistiska siffror, även kända som Armstrong-nummer eller "Pluperfect Digital Invariants", är siffror som lyssnar nära varandra lika med summan av var och en av dess siffror när dessa siffror höjs till kraften av AMOUNT av siffror i numret.

Ok. Vad? Låt oss ta ett exempel på de fyra nuvarande narcissistiska kuberna:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

I dessa fall är varje siffra kubad eftersom det finns tre siffror i siffran. Därefter adderas de kubade talen för att producera en summa som är lika med det ursprungliga numret. Det finns inga 1-siffriga narcissistiska siffror, 12 eller 13-siffriga. de två 39-siffriga är:

115132219018763992565095597973971522400 och 115132219018763992565095597973971522401.

Engelska matematikern GH Hardy erkände den här typen av frivolitet genom att i sin bok "Matematikerens ursäkt" förklara att "Dessa är udda fakta, mycket lämpliga för pusselkolumner och sannolikt att roa amatörer, men det finns inget i dem som appellerar till matematiker. ”

1

Repänder och repunits

En repdigit är ett naturligt tal med en upprepande siffra; namnet kommer faktiskt från termen "upprepad siffra". Den mest kända redit är det så kallade "Beast Number" 666, en vanlig symbol för antikristen eller Satan. En repunit är då en repdigit som bara använder numret 1; repunits dyker upp ofta i binär kod och är relaterade till det mest kända av primer, Mersenne Primes. Det har blivit gissat att det finns ett oändligt antal repunit primes, så om du vill försöka bevisa det, var snäll och gör det på din fritid.