10 kallaste matematiska resultat

Många människor avskedas av de oklara symbolerna och strikta regler för matematik, vilket ger upphov till ett problem så fort de ser både siffror och bokstäver inblandade. Men medan matte kan vara tät och svårt ibland, kan resultaten som det visar sig ibland vara vackra, överdrivande eller helt enkelt oväntat. Resultat som:

10

4-färgsatsen

4-Color Theorem upptäcktes först 1852 av en man som heter Francis Guthrie, som vid tiden försökte färglägga en karta över alla län i England (det var innan internet uppfanns, det fanns inte mycket att do). Han upptäckte något intressant - han behövde bara högst fyra färger för att säkerställa att inga län som delade en gräns var färgade på samma sätt. Guthrie undrade om detta var sant för någon karta, och frågan blev en matematisk nyfikenhet som gick oupplöst i åratal.

År 1976 (över ett sekel senare) blev detta problem slutligen löst av Kenneth Appel och Wolfgang Haken. De bevis som de fann var ganska komplexa och förlitade sig delvis på en dator, men det står att i någon politisk karta (t.ex. staterna) behövs endast fyra färger för att färga varje enskild stat så att inga stater av samma färg någonsin finns i kontakta.

9

Brouwer's Fixed Point Theorem

Denna ståndpunkt kommer från en gren av matematik som kallas topologi, och upptäcktes av Luitzen Brouwer. Medan det tekniska uttrycket är ganska abstrakt, har det många fascinerande verkliga implikationer. Låt oss säga att vi har en bild (till exempel Mona Lisa) och vi tar en kopia av den. Vi kan då göra vad vi vill att den här kopian gör det större, göra det mindre, rotera det, smula det upp, allting. Brouwer's Fix Point-teorem säger att om vi lägger denna kopia överlagring av vår ursprungliga bild måste det finnas minst en punkt på kopian som överträffar precis samma punkt på originalet. Det kan vara en del av Monas öga, öra eller eventuellt leende, men det måste existera.

Detta fungerar också i tre dimensioner: tänk att vi har ett glas vatten, och vi tar en sked och rör det upp så mycket vi vill. Med Brouwer satser kommer det att finnas minst en vattenmolekyl som ligger på exakt samma plats som innan vi började röra.

8

Russells paradox

Fotokredit: Lonpicman

Vid 1900-talets turn blev många människor entranced av en ny gren av matematik som heter Set Theory (som vi kommer att täcka lite senare i listan). I grund och botten är en uppsättning en samling objekt. Tänkandet på tiden var att allting kunde omvandlas till en uppsättning: Satsen av alla typer av frukt och uppsättningen av alla amerikanska presidenter var båda helt giltiga. Dessutom, och detta är viktigt, kan uppsättningar innehålla andra uppsättningar (som uppsättningen av alla uppsättningar i föregående mening). 1901 gjorde berömd matematiker Bertrand Russell en ganska stänk när han insåg att detta sätt att tänka hade en dödlig brist: nämligen kan inte någonting göras i en uppsättning.

Russell bestämde sig för att få meta om saker och beskrivit en uppsättning som innehöll alla de uppsättningar som inte innehåller sig själva. Satsen av all frukt innehåller inte sig själv (juryn är fortfarande ute om den innehåller tomater), så det kan ingå i Russells set tillsammans med många andra. Men vad sägs om Russell sätta sig? Det innehåller inte sig själv, så det borde också inkluderas. Men vänta ... nu innehåller det sig själv, så vi måste naturligtvis ta det ut. Men vi måste nu lägga tillbaka det ... och så vidare. Denna logiska paradox orsakade en fullständig reformering av Set Theory, en av de viktigaste grenarna i matematik idag.

7

Fermats sista teorem

Kom ihåg Pythagoras teorem från skolan? Det har att göra med rätvinkliga trianglar och säger att summan av kvadraterna på de två kortaste sidorna är lika med kvadraten på den längsta sidan (x kvadrerad + y kvadratisk = z kvadratisk). Pierre de Fermats mest kända stämning är att samma ekvation inte är sant om du ersätter kvadraten med ett tal som är större än 2 (du kan inte säga x cubed + y cubed = z cubed, till exempel), så länge x, y, och z är positiva heltal.

Som Fermat själv skrev: "Jag har upptäckt ett verkligt fantastiskt bevis på detta, vilket denna marginal är för smal att innehålla." Det är verkligen synd, för när Fermat ställde upp det här problemet år 1637, gick det obefintligt ganska länge. Och ett tag menar jag att det bevisades 1995 (358 år senare) av en man som heter Andrew Wiles.

6

Doomsday Argument

Det är ett rättvist antagande att de flesta av läsarna av denna artikel är människor. Att vara människor, kommer denna post att vara särskilt nykterande: matematik kan användas för att bestämma när vår art kommer att dö ut. Använd sannolikhet, ändå.

Argumentet (som har funnits i cirka 30 år och har upptäckts och återupptäckts några gånger) säger i princip att mänsklighetens tid är nästan uppe. En version av argumentet (attributet till astrofysiker J. Richard Gott) är överraskande enkelt: Om man ser den mänskliga artens hela livstid som en tidslinje från födelse till död, kan vi avgöra var på den tidslinjen vi är nu.

Eftersom just nu bara är en slumpmässig punkt i vår existens som en art, så kan vi säga med 95% noggrannhet att vi ligger inom den mellanliggande 95% av tidslinjen någonstans. Om vi ​​säger det just nu är vi exakt 2,5% i människans existens, vi får den längsta livslängden. Om vi ​​säger att vi är 97,5% i mänsklig existens, ger det oss den kortaste livslängden. Detta gör det möjligt för oss att få en räckvidd av den mänskliga rasens förväntade livslängd. Enligt Gott finns det en 95% chans att människor kommer att dö en gång mellan 5100 år och 7,8 miljoner år från och med nu. Så där går du, mänskligheten - få bättre på den hinklistan.

5

Icke-euklidisk geometri

En annan bit av matematik som du kanske kommer ihåg från skolan är geometri, vilket är den del av matte där doodling i dina anteckningar var poängen. Den geometri som de flesta av oss känner till kallas euklidisk geometri, och den bygger på fem ganska enkla självklara sanningar eller axiomer. Det är den vanliga geometrin av linjer och punkter som vi kan dra på svarta tavlan, och under lång tid ansågs det enda sättet geometri kunde fungera.

Problemet är dock att de självklara sanningarna som Euclid skisserade över 2000 år sedan inte var så självklart för alla. Det fanns ett axiom (känt som parallellpostulatet) som aldrig satt rätt med matematiker, och i århundraden försökte många människor förena det med de andra axiomerna. I början av 1700-talet var ett djärvt nytt tillvägagångssätt försökt: det femte axiomet ändrades helt enkelt till något annat. Istället för att förstöra hela systemet av geometri, upptäcktes en ny som nu kallas hyperbolisk (eller bolyai-lobachevskian) geometri. Detta orsakade ett komplett paradigmskifte i det vetenskapliga samfundet, och öppnade grindarna för många olika typer av icke-euklidisk geometri. En av de mer framträdande typerna kallas Riemannian geometri, som används för att beskriva ingen annan än Einsteins Relativitetsteori (vårt universum, intressant nog, följer inte den euklidiska geometrin!).

4

Eulers formel

Eulers formel är ett av de mest kraftfulla resultat på den här listan, och det beror på en av de mest produktiva matematikerna som någonsin levt, Leonhard Euler. Han publicerade över 800 papper under hela sitt liv - många av dem medan de blinda.

Hans resultat ser ganska enkelt vid första anblicken: e ^ (i * pi) + 1 = 0. För de som inte vet är både e och pi matematiska konstanter som kommer upp på alla möjliga oväntade platser, och jag står för den imaginära enheten, ett tal som är lika med kvadratroten av -1. Den anmärkningsvärda saken om Eulers formel är hur man klarar att kombinera fem av de viktigaste talen i all matte (e, i, pi, 0 och 1) i en sådan elegant ekvation. Det har kallats av fysiker Richard Feynman "den mest anmärkningsvärda formeln i matematik", och dess betydelse ligger i dess förmåga att förena flera aspekter av matematik.

3

Turing's Universal Machine

Vi lever i en värld som domineras av datorer. Du läser denna lista på en dator just nu! Det är självklart att datorer är en av de viktigaste uppfinningarna av 20-talet, men det kan överraska dig att veta att datorer i sin kärna börjar i teorinmatematikens rike.

Matematiker (och även WW2-kodbrytare) Alan Turing utvecklade ett teoretiskt objekt som kallades en Turing Machine. En Turing Machine är som en väldigt grundläggande dator: den använder en oändlig sträng av tejp och 3 symboler (säg 0, 1 och tomt) och fungerar sedan med en uppsättning instruktioner. Instruktioner kan vara att ändra 0 till 1 och flytta ett mellanslag till vänster, eller för att fylla i ett tomt och flytta ett mellanslag till höger (till exempel). På så sätt kan en Turing Machine användas för att utföra någon väldefinierad funktion.

Turing fortsatte sedan med att beskriva en Universal Turning Machine, som är en Turing Machine som kan imitera en Turing Machine med någon ingång. Detta är i grunden begreppet en lagrad programdator. Med hjälp av inget annat än matematik och logik skapade Turing åren inom datavetenskapsområdet år innan tekniken var ens möjlig att konstruera en riktig dator.

2

Olika nivåer av oändlighet

Infinity är redan ett ganska svårt begrepp att förstå. Människor var inte gjorda för att förstå det oändliga, och därför har Infinity alltid behandlats med försiktighet av matematiker. Det var inte förrän på senare hälften av 1800-talet att Georg Cantor utvecklade gren av matematik som kallas Set Theory (kom ihåg Russells paradox?), En teori som gjorde att han kunde överväga den sanna naturen av Infinity. Och det han hittade var verkligen överdriven.

Som det visar sig, när vi föreställer oss oändlighet, finns det alltid en annan typ av oändlighet som är större än så. Den lägsta nivån av oändlighet är mängden heltal (1,2,3 ...), och det är en räknbar oändlighet. Med vissa mycket eleganta resonemang bestämde Cantor att det finns en annan nivå av oändlighet efter det, oändligheten i alla riktiga nummer (1, 1.001, 4.1516 ... i stort sett vilket tal du kan tänka dig). Den typen av oändlighet är otalbar, vilket betyder att även om du hade hela tiden i universum kunde du aldrig lista alla riktiga nummer i ordning utan att sakna några. Men vänta - som det visar sig, det finns ännu fler nivåer av otalbar oändlighet efter det. Hur många? Ett oändligt antal, förstås.

1

Gödels ofullständighetsteorier

1931 visade den österrikiska matematikern Kurt Gödel två teoremer som skakade mattevärlden till sin kärna, för tillsammans visade de något ganska nedslående: matematiken är inte och kommer aldrig att bli fullständig.

Utan att komma in på de tekniska detaljerna visade Gödel att det i något formellt system (som ett system med naturliga siffror) finns vissa sanna uttalanden om systemet som inte kan bevisas av systemet självt. Grunden visade han att det är omöjligt för ett axiomatiskt system att vara helt självständigt, vilket gick emot alla tidigare matematiska antaganden. Det kommer aldrig att finnas ett slutet system som innehåller alla system som bara är matematik som blir större och större eftersom vi utan framgång försöker göra dem komplett.