Topp 10 oknutliga saker

Det finns många saker vi inte känner till; Personligen är jag en oerhört osynlighet av okunskap. Men det finns en skillnad mellan saker vi inte vet och saker som inte kan bli kända. Till exempel vet ingen när Shakespeare föddes (även om vi vet när han döptes). Det är emellertid inte omöjligt att vi i framtiden kan ta reda på det - ett långt förlorat dokument kan hittas som nämner hans födelse, så Shakespeares äkta födelsedatum är inte okänt, bara okänt. Denna lista innehåller 10 saker som i princip inte kan tolkas. Inte bara är de okända nu, de kan aldrig bli kända.

De flesta av dessa är matematiska; Jag har försökt att göra det så otekniskt som möjligt - bortsett från allt annat, jag är ingen matematiker så jag har försökt att dumma ner det så att jag kan förstå det.

10

Uppsättningar och flera uppsättningar

Oknutlig sak: Vad finns i en uppsättning uppsättningar som inte innehåller sig?

Vi måste göra lite matematik för flera av dessa saker! Det här är det första på listan, eftersom begreppet "okännligt" börjar med en sådan paradox som upptäckts av Bertrand Russell 1901.

Låt oss börja med idén om en uppsättning. En uppsättning är en samling objekt - till exempel kan du ha uppsättningen positiva jämntal som innehåller 2, 4, 6, 8 ... eller uppsättningen primärtal som innehåller 2, 3, 5, 7, 11 ... så långt så Bra.

Kan uppsättningar innehålla andra uppsättningar? Ja, inget problem - du kan ha en uppsättning uppsättningar som innehåller andra uppsättningar - och den uppsättningen skulle självklart innehålla sig själv. Faktum är att du kan dela upp uppsättningar i två typer - de som innehåller sig själva och de som inte gör det.

Så, överväga en uppsättning (S, säga) av uppsättningar som inte innehåller sig själva. Innehåller S sig själv? Om det gör det borde det inte vara i uppsättningen, men om det inte gör det borde det. Så S hoppar kontinuerligt in och ut ur sig själv.

Denna paradox orsakade ganska stor bedrägeri bland matematikerna. Föreställ dig någon som bevisar att ett tal kan vara lika jämnt och udda, det är lika oroligt för det. Det har gått vägar runt paradoxen - i huvudsak genom att omdefiniera setteori.

9

Grahams nummer

Det har sagts att problemet med människors uppfattning om universum är att våra hjärnor endast används för att hantera små tal, korta avstånd och korta perioder. Grahams nummer är stort nog för att få folkets hjärnor att börja ånga; det är riktigt stort; för att uttrycka det i ett sammanhang, låt oss titta på några så kallade stora nummer:

De flesta har hört talas om en googol - för de flesta ändamål är det ett stort antal - 10 ^ 100 vilket är 1 följt av 100 nollor.

Det finns dock mycket större antal där ute; en googolplex är 1 följt av en googol nollor och matematikern Stanley Skewes har definierade tal mycket större än en googolplex.

För att sätta dessa i kontext är den minsta av dem (googolen) fortfarande mycket större än antalet partiklar i universum (omkring 10 ^ 87).

Grahams nummer slår dock dessa "småbarn" ur marken - det användes av Ronald Graham i hans (för mig) oförståeligt arbete på multidimensionella hypercubes (det är den övre gränsen för en av lösningarna). Det är tillräckligt att säga att det är långt större än Skewes tal och faktum är att universum inte är tillräckligt stort för att lagra den tryckta versionen. Även om varje siffra var storleken på en elektron. Inte ens i närheten.

Det riktigt underbara med Grahams nummer är att det är möjligt att beräkna de sista siffrorna och vi vet att det slutar i en 7.

8

Minsta heltal

Unknowable Thing: Vad är det minsta positiva heltalet inte definierbart under elva ord?

Detta är ett problem i matematikens filosofi. Bara för att göra sakerna lite tydligare - ett heltal är ett heltal (1, 2, 3 etc), och för mindre heltal är det enkelt att definiera dem i ord:

"Kvadraten av 2" = 4
"En mer än 4" = 5

… och så vidare. Nu som ett tankeexperiment - överväga hur många elva ord meningar det finns - uppenbarligen finns det mycket; men det finns bara ett begränsat antal ord (cirka 750 000 på engelska) så det finns bara ett begränsat antal elva ord meningar - någon gång kommer du att springa ut och det skulle vara ett heltal som du inte kunde definiera. Förutom "Det minsta positiva heltalet som inte kan definieras med under elva ord" innehåller bara tio ord, så du kan definiera det med elva ord.

Det här kallas Berrys paradox och det är faktiskt en slags "handsvag" med språk - vi flyttar subtilt från namngivna siffror för att beskriva dem, men det finns ingen som kan komma med det numret!

7

programvara

Unknowable Thing: Kommer ett datorprogram någonsin att sluta?

När jag satt i ren matematik på skolan var det ett vanligt klagomål att det vi lärde oss var "värdelöst". Tyvärr svarade läraren helt enkelt med "du lär dig detta eftersom det finns på kursplanen". Turing Halting-problemet låter som en klass-A värdelös, helt akademisk, slöseri med tid. Förutom att det ledde till utvecklingen av digitala datorer.

Alan Turing var en engelsk matematiker och ett barnförälskelse, särskilt i matematik. Hans arbete med datorer var i första hand helt teoretiskt; han arbetade med idén att beskriva matematiska uttalanden helt numeriskt så att de kunde behandlas av en teoretisk dator. Han tänkte upp begreppet en dator med allmänt ändamål (nu kallad en Turing Machine) som ett tankeexperiment - han förutse inte någon som faktiskt byggde en.

Han motiverade att ett datorprogram antingen måste springa för evigt eller sluta.Han visade att det är omöjligt att automatiskt avgöra vilken som kommer att hända - jag vet att du kan argumentera för att du kan "springa programmet och se vad som händer" - men antar att det bara slutar efter 7000000000 år?

Lite mer om Turing: hans räckvidd är särskilt anmärkningsvärd eftersom han gjorde det 1936 - år innan den första digitala datorn byggdes. Andra världskriget startade 1939 men Turing hade arbetat med kodbrytning vid Bletchley Park ett år innan det; försöker dechiffrera den tyska Enigma-koden. Det var uppenbart att en "manuell" inställning var för långsam och Turing specificerade den första avkodningsmaskinen (kallad en Bombe), vilket ledde till Colossus - förmodligen den första programmerbara digitala datorn som automatiskt kunde springa igenom många möjliga "nycklar". var så viktigt att dekryptera att mycket förblev hemligt långt efter kriget slutade; några publicerades bara i år - 60 år efter det att den skrevs.

6

Kan ej beräknas

Oknutlig sak: Det finns siffror som inte kan beräknas.

Detta är ett annat sinne bender bevisat av Alan Turing. För en början finns det mer än en "oändlighet". Till exempel, hur många positiva, heltal finns det? Varför finns det oändlighet - de slutar aldrig. Hur många positiva, jämntal finns det? Samma - om du dubblar ett positivt heltal får du ett motsvarande jämnt tal, så det måste vara samma nummer.

Okej, hur många riktiga siffror finns det? Realnummer inkluderar alla fraktioner, irrationella tal (som pi) och heltal (positiva eller negativa). Jo, det finns mycket mer än det finns heltal - mellan varje heltal finns ett oändligt antal reella tal; så antalet reella tal är en mycket större oändlighet än antalet heltal.

Med detta koncept ordentligt på plats; du kan orsaka sålunda:

Antag att du börjar skriva dataprogram för att generera reella tal, en för varje reellt tal.

Du räknar varje program; den första är "1", den andra, "2" och så vidare - som du räknar använder du det positiva, hela talet.

Problemet är att även om du är glad att skriva ett oändligt antal program, är oändligheten mindre än det oändliga antalet reella tal, så det måste finnas många (faktiskt mest) reella nummer som saknas - det kan inte vara beräknad.

5

Sant eller falskt?

Unknowable Thing: I matematik finns det sanna saker som inte kan bevisas sanna - och vi vet inte vad de är.

Denna hjärnskadande teorem har utvecklats av Kurt Gödel. Konceptet går tillbaka till 1900 när David Gilbert föreslog 23 "problem" i matematik som han skulle vilja se lösas under det kommande århundradet. Ett problem var att bevisa att matematiken var konsekvent - vilket skulle vara jolly trevligt att veta. Men 1901 blåste Gödel det ur vattnet med sin ofullständighetsteori. Jag kommer inte att gå igenom stolen i detalj här, delvis för att jag inte förstår detaljerna, men främst för att det tog mig tre separata föreläsningar innan Jag kände ens att jag kom dit, så om du är intresserad: Wikipedia är din vän!

Sammanfattningsvis visar teorin att du inte kan bevisa att matematik överensstämmer med bara matematik (du måste använda ett "metaspråk"). Dessutom visade han också att det finns sanna saker i matematik som inte kan bevisas sanna.

När jag lärde mig stolen, föreslogs att den berömda Fermats sista teorem kan vara en sådan "sann sak som inte kan bevisas sant", men det var bortskämd som ett exempel när Andrew Wiles visade sig sant år 1995. Men här är ett par saker som kan vara sanna, men inte bevisliga:

"Det finns inget udda perfekt nummer."

Ett perfekt tal är ett positivt heltal som delar upp sig själv. Exempelvis är 6 ett perfekt tal - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 är nästa perfekta nummer. Perfekta satser uppträder sällan och hittills har endast 41 perfekta tal hittats. Ingen vet hur många det finns - men det är mellan 41 och oändligheten!

Hittills har alla de perfekta siffrorna varit jämna men det vet ingen om det finns en udda än att hittas, men om det finns en är det ett mycket stort antal; större än 10 ^ 1500 - (1 med 1500 nollor efter det).

"Varje jämnt tal är summan av två primer."

Ett primärtal är endast delbart av sig själv eller 1 och det är ett nyfiken faktum att hittills alla jämntal som testats är summan av två av dem - till exempel: 8 = 5 + 3 eller 82 = 51 + 31. Igen , det är känt att vara sant för många siffror (upp till omkring 10 ^ 17) och det är också känt att ju högre ett tal är desto mer sannolikt är det att vara en förstklassig, så det verkar troligare ju högre du får, men vem ska säga det finns inte ett riktigt stort jämnt antal där ute där det inte är sant?

4

Vad är sanning, människa?

Fortfarande i provbarhetsvärlden kommer vi till Tarksis oförklarlighetsteori, men för att tantalize, här är något på bakgrunden av Tarksi.

Han var son till judiska föräldrar födda i Polen före kriget, och han var mycket lycklig. Han föddes Alfred Teitelbaum 1901. Det var utbredd antisemitism i förekrigstiden Polen och 1923 bytte Alfred och hans bror sitt efternamn till "Tarski" - ett namn de skapade för att det "lät mer polskt". De ändrade också sin religion från judiska till romersk-katolska - även om Alfred verkligen var ateist.

I slutet av 1930-talet ansökte Tarski om flera professorer i Polen men blev avstängd - lyckligtvis, som det visade sig. År 1939 blev han inbjuden att tilltala en konferens i Amerika som han förmodligen inte skulle ha deltagit om han nyligen hade tagit ett professorat.Tarski fångade det sista skeppet för att lämna Polen före den tyska invasionen följande månad. Han hade ingen aning att han "flydde" från Polen - han lämnade sina barn bakom tanken att han skulle återvända snart. Hans barn överlevde kriget och de återförenades 1946, även om de flesta av hans utökade familjer dödades av de tyska ockupanterna.

Tillbaka till teorem: Tarski visade att aritmetisk sanning inte kan definieras i aritmetik. Han utvidgade också detta till något formellt system; "Sanning" för det systemet kan inte definieras inom systemet.

Det är möjligt att definiera sanning för ett system i ett starkare system; men självklart kan du inte definiera sanning i det starkare systemet, du måste gå vidare till ett allt starkare system - och så vidare, på obestämd tid leta efter den oåtkomliga sanningen.

3

Partikeldetaljer

Oknutlig sak: Var är den partikeln, och hur fort går det?

Vi lämnar hjärnskadande värld av matematik, men tyvärr går vi in ​​i den ännu mer cortex-boggling världen av kvantfysik. Osäkerhetsprincipen uppstod när man studerade subatomära partiklar och förändrade hur vi ser universum. När jag var i skolan lärde vi oss att en atom var som ett minisolsystem med en solliknande kärna i mitten med elektroner, och elektronerna var som små marmor.

Det är så fel - och en av de viktigaste upptäckterna på vägen mot att visa det var Heisenbergs osäkerhetsprincip. Werner Heisenberg var en tysk teoretisk fysiker som arbetade nära den danska fysikern Niels Bohr på 1920-talet. Heisenbergs resonemang går så här:

Hur hittar jag ut var en partikel är? Jag måste titta på det och att titta på det måste jag belysa det. För att belysa det måste jag skjuta fotoner på det, när en foton träffar partikeln, kommer partikeln att flyttas av fotonen - så genom att försöka mäta den positionen ändrar jag dess position.

Tekniskt sett säger principen att du inte kan känna till en partikels position och momentum samtidigt. Detta är liknande, men inte detsamma som "observatör" -effekten i experiment där det finns några experiment vars resultat förändras beroende på hur de observeras. Osäkerhetsprincipen är på mycket fastare matematiska fotföremål och, som jag nämnde, förändrade hur universum ses (eller hur universum av den mycket lilla betraktas). Elektroner anses nu som sannolikhetsfunktioner snarare än partiklar; vi kan beräkna var de sannolikt kommer att vara, men inte var de är - de kan faktiskt vara var som helst.

Osäkerhetsprincipen var ganska kontroversiell när den meddelades; Einstein berättade famously att "Gud spelar inte tärningar med universum", och det var omkring denna tid som splittringen i fysik som separerade kvantmekanik - som studerar den mycket lilla och makrofysiken som studerar större objekt och krafter påbörjades. Den splittringen är fortfarande att lösas.

2

Chaitins konstanta

Chaitins konstant är ett exempel på vad som verkar normalt och förnuftigt för en matematiker, men galen ljuder till resten av oss. Chaitins konstant är sannolikheten för att ett slumpmässigt datorprogram kommer att stanna. Vad är galet om det (faktiskt ett av några saker) är att det finns en annan konstant för varje program, så det finns ett oändligt antal värden för denna "konstanta" - som vanligen visas som en grekisk omega (Ω) . Den andra lite galen sak om det är att det inte går att bestämma vilken Ω är - det är ett okompatibelt tal, vilket är en skam - om vi kunde beräkna Ω, så har det visat sig att de flesta oprovade problemen i matematiken faktiskt kunde bevisas ( eller disproved).

1

Okänd Unknowables

Hittills har vi beskrivit saker vi vet att vara okännliga (om det är vettigt). Det sista avsnittet beskriver emellertid saker som kan vara sanna men det kan inte vara känt. Du kanske tror att jag skulle kämpa för att hitta ett exempel, men överväga följande:

Vi lever i ett växande universum; när vi tittar på andra galaxer flyttar de sig bort från oss och accelererar. Nu, i en avlägsen framtid (omkring 2 bilioner år från och med nu) kommer alla andra galaxer att vara så långt borta att de inte kommer att observeras (tekniskt kommer de att flytta så fort att ljuset kommer att sträckas in i gammastrålar med våglängder längre än universum är bred). Så om du var en astronom i 2 biljoner år skulle det inte vara möjligt att veta att det fanns miljarder andra galaxer i universum - och om någon föreslog det, skulle du skratta avskyvärt och säga "visa mig bevisen; du har ingenting."

Så, med tanke på detta, kom tillbaka till idag - det kan vara sanna saker om universum som vi aldrig kan veta. Klunk!

+

Tråkig…

Oknutlig sak: Finns det ointressanta människor?

Det är ganska lätt att hävda att det inte finns några ointressanta människor:

Överväg att göra en lista över ointressanta människor; En av dessa människor kommer att vara den yngste - och att vara den yngste ointressanta personen är själv intressant - så de borde tas bort från listan. Nu finns det en ny yngsta ointressant person, och de kan också tas bort från listan, och så vidare - tills listan måste vara tom. Så, om du träffar någon du tycker är ointressant, måste du ha fel.