10 fakta från den bisarra världen av oändlig matematik

I slutet av 1800-talet upptäckte tysk matematiker Georg Cantor "transfinit" matematik eller matematik utöver oändligheten. Med detta tidiga arbete introducerades vi i en värld där det finns siffror större än oändligheten och ekvationer som inte följer aritmetiska sunt regler. Räcker med att säga, det är nog inte de saker du lärde dig i gymnasiet.

Cantors arbete var ursprungligen kontroversiellt och attackerades vitrioliskt av några av de viktigaste matematiska siffrorna i hans dag. Det blev emellertid gradvis accepterat som kanon och har hjälpt till att bana väg för uppsättningsteori, som i sig är en potentiell undergirding för all matematik.

10 Infinity Plus One (eller två, eller oändlighet) är lika med oändlighet

Det visar sig att det här gamla barndomsordet har något för det. Med tanke på oändlighetens natur är varje tal som läggs till, subtraheras från, multiplicerat med eller dividerat med det lika med oändligheten. Detta ses i ett klassiskt oändligt pussel som kallas Hilbers hotellparadox:

Det finns ett hotell som har ett oändligt antal rum. En trött resenär anländer och begär ett rum men är informerad om att alla rum är upptagna. Hur kan hotellet inte ha några fler rum, eftersom det har oändliga rum? Vad ska resenären göra?

Svaret är att resenären ska begära att personen i rummet en ska flytta till rum två, personen i rum två ska flytta till rum tre osv. Och hon tar rum ett. Infinity är oändligt elastisk och kan utökas eller krympas på något sätt för att passa vad det behöver, oavsett om det är en resenär eller en googolplex (ja det är ett faktiskt antal) resenärer.

9 Det finns så många udda nummer (och så många nummer som slutar i 123 eller 423) som det finns siffror

Infinity är så formbar eftersom, liksom Hilbers hotell, kan någon serie av oändliga siffror sättas i vad som kallas en "en till en korrespondens" med någon oändlig del av den serien. I lekmannens termer betyder det att om du tar alla positiva heltal (0, 1, 2, 3, 4 ...) och alla positiva jämntal (0, 2, 4, 6, 8 ...) kan var och en av hela numren matchas med ett jämnt antal. Så noll kan matchas med noll, man kan matchas med två, två kan matchas med fyra osv.

Eftersom de två serierna (eller "uppsättningarna") av siffror matchar för varje nummer, är vi motiverade att säga att de är lika stora. Kallas Galileo-paradoxen efter sin berömda upptäckare, visar detta tankeexperiment att oändlighetens storlek inte kan ändras med hjälp av de grundläggande verktygen för grundläggande aritmetik som uppdelning eller tillsats av ändliga tal. För det behöver du något mer sofistikerat.

8 Vissa oändligheter är större än andra

Baksidan av en-till-en-korrespondensen är att om det finns en oändlig serie av siffror som fortfarande har antal kvar efter att ha matchats med en annan oändlig serie, så kan vi säga att den tidigare serien av oändligheter faktiskt är större än oändligheten som den matchades med. Det här kan tyckas omöjligt, men du kan noga intuitivt förstå ett fall där detta är sant: Det oändliga antalet heltal (0, 1, 2, 3 ...) är mindre än det oändliga antalet irrationella tal. Om du kommer ihåg från gymnasietematik är irrationella tal siffror som pi som har en serie decimaler som fortsätter för evigt (3.1415 ...). Cantor visade att det oändliga antalet irrationella tal är större än det oändliga antalet heltal med hjälp av en genial men enkel (i förhållande till mest banbrytande matematiska bevis) trick.

Han började med att anta att irrationella tal kunde matchas med heltal och skrev ner en serie siffror mellan noll och en. (Okej, det här är mina egna slumpmässiga siffror från att mashing tangentbordet, men du får poängen.) Det finns ett oändligt antal av dessa rader:

0.1435 ... matchad med 0
0.7683 ... matchad med 1
0.1982 ... matchad med 2
0.9837 ... matchad med 3

Och så vidare. Du kan sedan skapa ett nummer från denna serie genom att ta den första siffran i första raden, den andra siffran i den andra raden och så vidare; för siffrorna ovan skulle detta vara 0,1668 ...

Nu kan det finnas ett antal 0.1687 ... någonstans i den här stacken av siffror. Om du lägger till en till var och en av siffrorna blir numret 0.2798 ... och det här numret kan inte vara i stapeln, eftersom det per definition skiljer sig från något av numren i stacken med minst en siffra. Därför finns det fortfarande irrationella siffror kvar efter att ha försökt matcha dem med normal heltal. Därför kan vi säga att det oändliga antalet irrationella tal är större än det oändliga antalet heltal.

Om du tycker att det är galet, håll på din hatt ...

7 Det finns oändligt många nivåer av oändligheter

Cantor visade också att precis som antalet oändliga heltal är på en helt annan grad av oändlighet än antalet irrationella tal finns det också en typ av oändlighet som är större än antalet irrationella tal, en nivå av oändlighet ovan det, en annan ovanför, och så vidare, upp genom (du gissade det) oändligheten. Vidare summerar vilken nivå av oändlighet som läggs till en högre nivå av oändlighet automatiskt till högre nivå av oändligheten på samma sätt som oändlighet plus en är oändlighet.

De Reader's Digest version av varför det här är fallet är att du kan ta en oändlig serie av tal (till exempel 0, 1, 2, 3 ...) och sedan göra en större oändlig serie genom att ta numret på alla olika möjliga kombinationer av nummer i originalserien. I matematik kallas detta en kraftsats.Så för hela talet skulle kraftuppsättningen inte bara innehålla 1, 2, 3 ... men också alla kombinationer av tal i den oändliga serien, inklusive 1 miljard och 1, 2, 13, 2 miljoner ... etc. När du har gjorde din första strömkälla, det finns ingen anledning till varför du inte kan göra en strömkälla i strömkabeln eller en strömkälla av en strömkälla av en strömkälla i ett nätaggregat ...

6 Allt detta drev slutligen Georg Cantor Insane

Som du kan föreställa dig, kan du alltför mycket göra ett antal på din känsla av verklighet, och det är precis vad som hände med upptäckaren. Cantor trodde att "nästa" nivå av oändligheten efter hela talet var antalet irrationella tal; Det enda problemet var att han inte kunde bevisa det.

Detta kända matematiska problem, märkt kontinuumhypotesen (han började så småningom bara säga att Gud avslöjade för honom att kontinuitetshypotesen var sann), i kombination med de onda attackerna på hans arbete, ledde till slut till en psykologisk kollaps och han tillbringade resten av hans dagar in och ut ur sjukhus medan han försökte bevisa att Francis Bacon skrev Shakespeare's spel.

5 Problemet som drog Cantor sinnessjuk är oupplösligt

Vissa människor har försökt att ge en grundlig grund för matematiken genom att använda en rad axiom eller uttalanden som förmodligen är så generella att de kan lita på utan föregående förklaring. (T.ex. Man kan inte vara lika med två. Varför? Eftersom!)

På 1960-talet visade matematiker Paul Cohen att kontinuitetshypotesen är olöslig om vi antar att de vanligaste axiomerna är sanna. Men till denna dag fortsätter matematiskt arbete med antagandet att axiomerna är sanna och att kontinuitetshypotesen är falsk, liksom det omvända antaget att de konventionella axiomerna är sanna såväl som kontinuumhypotesen. Matematiker överväger de olika antagandena om kontinuumhypotesen som tillhör olika "matematiska universum", eftersom vi inte kan bevisa att den ena eller den andra är sann.

4 Symbolet för oändlighet som Cantor väljer är ett hebreiskt brev

Precis som astronomer och biologer, matematiker som upptäcker något nytt koncept eller viktigt värde får åtminstone lite inmatning i vad dess namn kommer att vara. Med tanke på den typen av makt, skulle du tro att det skulle finnas fler Klingon-tecken på högnivåmatematik idag, men nej. Så kreativa som matematiker är det knappast någon som vill avvika från de mycket konventionella grekiska symbolerna, varför olika grekiska bokstäver kan betyda så många olika saker beroende på vilken gren av matematik du använder - vi har helt enkelt så många fler matematiska konstanter och begrepp än grekiska bokstäver.

Medan hans religiösa bakgrund fortfarande diskuteras av historiker såg Cantor vad han gjorde som ett sätt att närma sig den gudomliga genom matematiken, så han bestämde sig för att de olika nivåerna av oändlighet skulle symboliseras av första bokstaven i det hebreiska alfabetet: aleph. Satsen av alla heltal skulle vara aleph-naught, eller aleph med ett nollprenumeration. Nästa högsta oändligheten skulle vara alef-en, som, som vi har nämnt, kanske eller inte är antalet irrationella tal.

3 Det finns en nivå av oändlighet I vilken oändlighet plus en liknar inte en Plus oändlighet

Förutom aleftalen kom Cantor också med omega nummer. Det första omega talet definieras som det minsta antalet som är större än antalet heltal, eller det första numret efter aleph-naught. Att dra på Hilbers hotell exempel igen, om antalet rum är aleph-naught, då är det första omega-nummeret en shack utanför hotellet. Nästa omega nummer efter det är helt enkelt omega plus en. Vad det här betyder är dock att en plus omega är annorlunda än omega plus en, eftersom den i den tidigare skulle absorberas av omega (eftersom oändligheten är smidig) medan den ena efter omega representerar nästa steg.

Tyvärr förstår det mer tekniska beviset på detta överlägsen förmåga hos din ödmjuka författares intellekt, men jag läste den i en bok, så det måste vara sant.

2 Infinity Minus Infinity Equals Noll

Infinitet minus oändligheten är odefinierad på samma sätt som att dividera med noll är odefinierad.

Att ge ett exempel på varför detta är, eftersom oändlighet plus en är oändlighet (oändlighet + 1] = [oändlighet]), om vi subtraherar oändlighet från båda sidor, lämnas vi med 1 = 0. På samma sätt och för många av Samma sak, oändlighet delad av oändlighet är inte en, men är också odefinierad.

1 Detta har faktiskt verkliga vetenskapliga tillämpningar

Precis som många andra områden inom matematik har det funnits som en rent teoretisk tankexperiment att ha konsekvenser i hårdvetenskapen. Exempelvis summerar några kvantmekanikekvationer till oändligheten; I praktiken anpassar fysiker ekvationen för att göra beräkningar genomförbara, men det är inte klart om det är motiverat med tanke på vad vi vet om transfinit matte.

I kosmologin, om universum är oändligt stort, är rymden oändligt delbar, universum kommer att expandera för evigt, eller om det finns oändliga universum är alla öppna frågor som drabbar oändlig logik. Vissa forskare har även hittat tillämpningar av Hilberts hotellparadox i både kvant och klassisk optik.